La fractale moyenne mobile adaptative (FRAMA) a été introduite par John F Ehlers en 2005 dans un article (FRAMA.pdf) sur son site et dans le journal : Technical Analysis of Stocks and Commodities -Fractal Adaptive Moving Averages. La FRAMA est donc une moyenne mobile adaptative qui utilise la géométrie des fractales pour ajuster sa vitesse par rapport à l’évolution des cours sur une période.
Une forme fractale peut être fragmentée ou divisée en parties dont chacune est similaire. Selon wikipedia : Une figure fractale est un objet mathématique qui présente une structure similaire à toutes les échelles.
La figure-1 montre un exemple théorique des cours en forme de fractale : la courbe A sur la première période de 0 à 50 se reproduit à l’identique dans la deuxième période de 50 à 100 mais en sens inverse. En fait, elle monte de 0 à 100 puis redescend à 50 et sur la période de 50 à 100 elle descend de 50 à 0 puis remonte à 100. En plus, la courbe A remplit toute la dimension du fractale. En revanche, la courbe B se reproduit à aussi l’identique en sens inverse entre la première et la deuxième période mais elle ne remplit que deux tiers de la dimension du fractale. Même constat pour la courbe C mais elle ne remplit que la moitié de la dimension du fractale.
Par conséquent, Ehlers a introduit une méthode pour évaluer la dimension du fractale des cours sur une période pour calculer le facteur d’ajustement de la FRAMA.
La méthode de calcul
Calcul de la dimension du fractale
En général, pour déterminer la dimension du fractale d’une forme géométrique, il faut la diviser en plusieurs parties et comparer le taux de remplissage de l’espace de chaque partie. Cependant, pour calculer la dimension du fractale des cours Ehlers divise la période en deux parties égales, ce qui signifie que la période doit être un chiffre pair, puis il compare le taux de remplissage des cours dans chaque moitié.
Pour chaque moitié prendre la valeur la plus haute des cours haut moins la valeur la plus basse des cours bas et diviser le résultat par la moitié de la période :
- Haut Bas (1, 2) = (Maximum (cours haut) – Minimum (cous bas)) / (période / 2)
Pour la période complète prendre la valeur la plus haute des cours haut moins la valeur la plus basse des cours bas et diviser le résultat par la période :
- Haut Bas = (Maximum (cours haut) – Minimum (cous bas)) / période
Ehlers utilise le logarithme népérien (LN) pour le calcul de la dimension du fractale :
- Dimension = (logarithme népérien (Haut Bas 1 + Haut Bas 2) – logarithme népérien (Haut Bas)) / logarithme népérien (2)
Le logarithme népérien (2) = logarithme népérien (période / (période/2))
Exemple de la courbe A, B et C dans la figure-1
- Courbe A :
- Haut Bas 1 = (100 – 0) / 50 = 2
- Haut Bas 2 = (100 – 0) / 50 = 2
- Haut Bas = (100 – 0) / 100 = 1
- Dimension = (LN (2 + 2) – LN (1)) / LN (2) = 2
- Courbe B :
- Haut Bas 1 = (75 – 0) / 50 = 1,5
- Haut Bas 2 = (100 – 25) / 50 = 1,5
- Haut Bas = (100 – 0) / 100 = 1
- Dimension = (LN (1,5 + 1,5) – LN (1)) / LN (2) = 1,58
- Courbe C :
- Haut Bas 1 = (50 – 0) / 50 = 1
- Haut Bas 2 = (100 – 50) / 50 = 1
- Haut Bas = (100 – 0) / 100 = 1
- Dimension = (LN (1 + 1) – LN (1)) / LN (2) = 1
Donc, la valeur de la dimension du fractale varie entre 1 et 2. La valeur 1 signifie que la courbe ne remplit qu’une dimension du fractale et la valeur 2 signifie que la courbe remplit les deux dimensions du fractale. En d’autres termes la valeur 1 signifie que les cours sont en tendance et la valeur 2 les cours sont en Trading Range.
Calcul de la moyenne mobile FRAMA
La fractale moyenne mobile adaptative utilise la formule de calcul de la moyenne mobile exponentielle comme la majorité des moyennes mobiles adaptatives :
- FRAMA = FRAMA précédente (FRAMA – 1) + facteur d’ajustement x (cours de clôture – FRAMA précédente (FRAMA – 1))
- Facteur d’ajustement = Exponentiel (-4,6 * (Dimension -1))
La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien : LN(y) = x équivaut à y = EXP(x) (pour tout réel x et tout réel y > 0). La fonction exponentielle est logiquement utilisée pour relier la dimension du fractale en logarithme népérien au facteur d’ajustement.
La valeur du facteur d’ajustement ou Alpha selon l’article d’Ehlers doit être comprise entre 0,01 et 1 sinon il faut ramener sa valeur à l’intérieur de l’intervalle 0,01 et 1.
Exemple de la courbe A, B et C dans la figure-1 pour le calcul du facteur d’ajustement :
- Courbe A :
- Dimension = 2
- Facteur d’ajustement = EXP (-4,6 * (2 – 1)) = 0,01005
- Période de la Moyenne mobile = (2 – 0,01005) / 0,01005 = 198
- Courbe B :
- Dimension = 1,58
- Facteur d’ajustement = EXP (-4,6 * (1,58 – 1)) = 0,06939
- Période de la Moyenne mobile = (2 – 0,06939) / 0,06939= 28
- Courbe C :
- Dimension = 1
- Facteur d’ajustement = EXP (-4,6 * (1 – 1)) = 1
- Période de la Moyenne mobile = (2 – 1) / 1= 1
Donc, lorsque la dimension est égale à 2 la période de la fractale moyenne mobile adaptative est égale à 198 et lorsque la dimension est égale à 1 la période de la fractale moyenne mobile adaptative est égale à 1. En conséquence, la limite courte est égale à 1 et la limite longue est égale à 198.
Ehlers utilise la constante de -4,6 dans le calcul du facteur d’justement, cette valeur est obtenue à partir de la formule = LN (2 / (limite longue + 1)). Par exemple, la limite longue par défaut est égale à 198, alors, la constante de calcul W est égale à LN (2 / 198 + 1)) = LN (0,0101) = -4,60016 et pour arrondir W = -4,6.
Le tableau-1 ci-dessous présente un exemple de calcul de la FRAMA sur les cours journaliers de Total Énergies pour une période de 10 jours :
- La première valeur de la FRAMA au 08/01/2024 est égale au cours de clôture 60,55.
- Calculer la valeur la plus haute pour les cours hauts sur la première moitié de 5 jours entre 22/12/2023 et 02/02/2024 = 62,86.
- Calculer la valeur la plus base pour les cours bas sur la première moitié de 5 jours entre 22/12/2023 et 02/02/2024 = 61,16.
- Calculer le Haut Bas 1 = (62,86 – 61,16) / 5 = 0,34.
- Calculer la valeur la plus haute pour les cours hauts sur la deuxième moitié de 5 jours entre 03/01/2024 et 09/02/2024 = 63,00.
- Calculer la valeur la plus basse pour les cours bas sur la deuxième moitié de 5 jours entre 03/01/2024 et 09/02/2024 = 60,12.
- Calculer le Haut Bas 2 = (63,00 – 60,12) / 5 = 0,58.
- Calculer la valeur la plus haute pour les cours hauts sur la période de 10 jours entre 22/12/2023 et 09/02/2024 = 63,00.
- Calculer la valeur la plus basse pour les cours bas sur la période de 10 jours entre 22/12/2023 et 09/02/2024 = 60,12.
- Calculer le Haut Bas = (63,00 – 60,12) / 10 = 0,29.
- Calculer la Dimension du fractale à condition que les valeurs des Haut Bas 1, Haut Bas 2 et Haut Bas soient positives = (LN (0,34 + 0,58) – LN (0,29)) / LN (2) = 1,67.
- Finalement le Facteur d’Ajustement au 09/01/2024 = EXP (-4,6 * (1 – 1,67)) = 0,046.
- Si la valeur du facteur d’ajustementest supérieure à 1 donc le facteur d’ajustement sera égal à 1 et si la valeur du facteur d’ajustementest inférieure à 0,01 donc le facteur d’ajustement sera égal à 0,01.
- La FRAMA au 09/01/2024 est égale à 60,55 + 0,0842 x (60,12 – 60,55) = 60,53.
- Ainsi de suite
Dans la formule originale John Ehlers définit la limite courte à 1 et la limite longue à 198. Par ailleurs, il existe une version modifiée de la formule qui permet de changer la limite courte et la limite longue de la période :
- Nouvelle FRAMA = Nouvelle FRAMA précédente (FRAMA – 1) + Nouveau facteur d’ajustement x (cours de clôture – Nouvelle FRAMA précédente (FRAMA – 1))
- Nouveau Facteur d’ajustement = 2 / (Nouvelle Période + 1)
- Nouvelle Période = [ (Limite Longue – Limite Courte) * (Période du Facteur d’Ajustement – 1) / (Limite Longue – 1) ] + Limite Courte
- Période du Facteur d’Ajustement = (2 – Facteur d’ajustement) / Facteur d’ajustement
- Facteur d’ajustement = Exponentiel (W * (Dimension -1))
- W = LN (2 / (limite longue + 1))
Le calcul du Haut Bas 1, Haut Bas 2, Haut Bas et celui de la Dimension ne change pas, en revanche, le facteur d’ajustement utilise la nouvelle valeur de la constante W qui remplace la valeur -4,6.
Le tableau-2 ci-dessous présente un exemple de calcul de la FRAMA modifié sur les cours journaliers de Total Énergies pour une période de 10 jours avec une limite longue de 150 jours et limite courte de 14 jours :
- La première valeur de la Nouvelle FRAMA au 08/01/2024 est égale au cours de clôture 60,55.
- Calculer la valeur de la constante W = LN (2 / (150 + 1)) = LN (0,0132) = – 4,32413
- Remplacer la valeur de -4,6 par la valeur de W dans la formule du facteur d’ajustement ce qui ramène le Facteur d’Ajustement au 09/01/2024 = EXP (-4,32413 * (1 – 1,67)) = 0,0433
- Calculer la Période du Facteur d’Ajustement au 09/01/2024 = (2 – 0,0433) / 0,0433 = 35.
- Calculer la Nouvelle Période au 09/01/2024 = [ (150 – 14 ) * (35 – 1) / (150 – 1) ] + 14 = 45.
- Calculer le Nouveau Facteur d’ajustement au 09/01/2024 = 2 / (45 + 1) = 0,0433.
- Si la valeur du nouveau facteur d’ajustementest supérieure à 1 donc le facteur d’ajustement sera égal à 1 et si la valeur du facteur d’ajustementest inférieure à 2 / (limite longue + 1) = 2 / (150 +1) = 0,0132 donc le facteur d’ajustement sera égal à cette valeur 0,0132.
- La Nouvelle FRAMA au 09/01/2024 est égale à 60,55 + 0,0433 x (60,12 – 60,55) = 60,53.
- Ainsi de suite
Interprétation
La fractale moyenne mobile adaptative (FRAMA) est utilisée dans les systèmes de tendance pour identifier le début de la tendance. En effet, un signal d’achat est généré lorsque la pente de la FRAMA change de direction, elle passe de baissier à haussier. Ainsi, un signal de vente est généré lorsque la pente de la FRAMA passe de haussier à baissier.
Exemples
La figure-2 montre les cours journaliers de Financial Select Sector SPDR Fund avec en jaune la moyenne mobile exponentielle de 50 jours et en bleu la fractale moyenne mobile adaptative de 100 jours pour le calcul de la dimension du fractale, limite courte de 1 jour et limite longue de 198.
Plus la dimension du fractale se rapproche de 1, plus la période de la fractale moyenne mobile adaptative se rapproche de sa limite courte comme par exemple entre Aout 2023 et Septembre 2023. Ainsi, plus la dimension du fractale se rapproche de 2, la période de la fractale moyenne mobile adaptative se rapproche de sa limite longue comme par exemple entre Octobre 2023 et Décembre 2023. En revanche, la période de la moyenne mobile exponentielle est toujours constante.
La figure-3 montre les cours journaliers de SPDR S&P 500 ETF avec deux fractales moyenne mobile adaptative : en bleu la FRAMA de 60 jours pour le calcul de la dimension, limite courte de 1 jour et limite longue de 198 et en rose la FRAMA de 100 jours pour le calcul de la dimension, limite courte de 12 jour et limite longue de 198.
Il intéressant de constater que la FRAMA de 60 jours réagit plus rapidement aux changements des cours que la FRAMA de 100 jours, ainsi comme la limite courte la FRAMA de 60 jours est de 1 jours ce qui lui permet de se coller aux cours comme c’est le cas à partir de Janvier 2024. En revanche, la FRAMA de 100 jours avec une limite courte de 12 jours ce qui la laisse légèrement distante des cours.